福建省高中数学竞赛预赛试题

2021年全国高中数学联赛福建省赛区预赛，也就是2021年福建省高中数学竞赛，其试卷参考答案发布，考试举行于2021年5月21日上午9点至11点30分，总分为160分，第一部分是填空题，共有10道题，每题6分，总计60分集合A包含所有小于1的x的平方的对数，集合B包含所有小于a的x的平方的负值，假设这两个集合有交集，那么实数a的取值范围是多少。【答案】(15)减去,【解答】根据2log(1减去x)小于,得到0小于x减去1小于2,进一步得到1小于x小于3,因此(1,3)区间为A的取值范围。由 2 x a  小于 ，可知 2 2 x a  小于小于 ， 2 2 a x a  小于小于 ， ( 2 2) B a a    ， 。 若 A 与 B 没有交集 ，那么 2 1 a 不大于 或 2 3 a 不小于 ， 1 a 不大于负一 或 5 a 不小于 。当 A B 的交集非空时，a 的取值介于负二分之一与五分之四之间。函数 f x 是定义在实数集上的奇函数，并且函数 y f x 一加一等于偶函数，当 x 的取值在负一至零之间时，f x 等于 x 的立方。所以九乘以 f 二等于二。【答案】 18 【解答】根据函数 y f x   的偶函数性质，可以确定 ( 1) ( 1) f x f x   ，同时满足 ( 1) ( 1) f x f x   。函数 f(x) 是奇函数，所以 f(-x) 等于 -f(x)，f(-2x) 等于 -f(2x)，f(2x) 等于 -f(-2x)。因此，39等于1减去1减去1减去1，2等于2减去2减去2减去2，8等于f减去f减去f减去f。该数列构成等比数列，首项为1，第2017项为20171，设函数表达式为22( )1f xx，则1 2 3 2017( ) ( ) ( ) ( ) f a f a f a f a     。【答案】 2017 【解答】根据公式22( )1f xx，可以推导出，当x等于1时，f的值等于22, 2 221 2 2 2 2( ) ( ) 211 1 11 ( )xf x fx x x xx       。由于集合na构成等比数列，并且知道首项a1等于20171，因此第二项a2等于2017，第三项a3等于2016，第四项a4等于2015，第五项a11等于2017。因此 2017年对应2, 2016年对应3, 2015年和2017年分别对应1和2, 接下来有八个空位需要填充, 这些空位依次填入f和a, 再填入f和a, 然后填入f和a, 继续填入f和a, 再填入f和a, 然后填入f和a, 接着填入f和a, 最后填入f和a, 这样就完成了所有空位的填充。因此，首先将四个函数值相加，得到 f(a) + f(a) + f(a) + f(a) 的结果，其次再将这个结果与另外四个函数值相加，分别是 f(1), f(2017), f(2), f(2016), f(3), f(2015)，最终将这八个函数值全部累加在一起，得到最终的等式结果。